《新唐书》志第十八上 历四上

《开元大衍历》演纪上元阏逢困敦之岁，距开元十二年甲子，积九千六百九十 六万一千七百四十算。

○一曰步中朔术

通法三千四十。

策实百一十一万三百四十三。

揲法八万九千七百七十三。

减法九万一千二百。

策余万五千九百四十三。

用差万七千一百二十四。

挂限八万七千一十八。

三元之策十五，余六百六十四，秒七。

四象之策二十九，余千六百一十三。

中盈分千三百二十八，秒十四。

朔虚分千四百二十七。

爻数六十。

象统二十四。

以策实乘积算，曰中积分。盈通法得一，为积日。爻数去之，余起甲子算外， 得天正中气。凡分为小余，日为大余。加三元之策，得次气。凡率相因加者，下有 余秒，皆以类相从。而满法迭进，用加上位。日盈爻数去之。

以揲法去中积分，不尽曰归余之挂。以减中积分，为朔积分。如通法为日，去 命如前，得天正经朔。加一象之日七、余千一百六十三少，得上弦。倍之，得望。 参之，得下弦。四之，是谓一揲，得后月朔。凡四分，一为少，三为太。综中盈、 朔虚分，累益归余之挂，每其月闰衰。凡归余之挂五万六千七百六十以上，其岁有 闰。因考其闰衰，满挂限以上，其月合置闰。或以进退，皆以定朔无中气裁焉。

凡常气小余不满通法、如中盈分之半已下者，以象统乘之，内秒分，参而伍之， 以减策实；不尽，如策余为日。命常气初日算外，得没日。凡经朔小余不满朔虚分 者，以小余减通法，余倍参伍乘之，用减灭法；不尽，如朔虚分为日。命经朔初日 算外，得灭日。

○二曰发敛术

天中之策五，余二百二十一，秒三十一；秒法七十二。

地中之策六，余二百六十五，秒八十六；秒法百二十。

贞悔之策三，余百三十二，秒百三。

辰法七百六十。

刻法三百四。

各因中节命之，得初候。加天中之策，得次候。又加，得末候。因中气命之， 得公卦用事。以地中之策累加之，得次卦，若以贞悔之策加侯卦，得十有二节之初 外卦用事。因四立命之，得春木、夏火、秋金、冬水用事。以贞悔之策减季月中气， 得土王用事。凡相加减而秒母不齐，当令母互乘子，乃加减之；母相乘为法。

各以能法约其月闰衰，为日，得中气去经朔日算。求卦、候者，各以天、地之 策，累加减之。凡发敛加时，各置其小余，以六爻乘之，如辰法而一，为半辰之数。 不尽者，三约为分。分满刻法为刻。若令满象积为刻者，即置不尽之数，十之，十 九而一，为分。命辰起子半算外。

○三曰步日躔术

干实百一十一万三百七十九太。

周天度三百六十五，虚分七百七十九太。

岁差三十六太。

以盈缩分盈减、缩加三元之策，为定气所有日及余。乃十二乘日，又三其小余， 辰法约而一，从之，为定气辰数。不尽，十之，又约为分。以所入气并后气盈缩分， 倍六爻乘之，综两气辰数除之，为末率。又列二气盈缩分，皆倍六爻乘之，各如辰 数而一；以少减多，余为气差。至后以差加末率，分后以差减末率，为初率。倍气 差，亦倍六爻乘之，复综两气辰数除，为日差。半之，以加减初末，各为定率。以 日差至后以减、分后以加气初定率，为每日盈缩分。乃驯积之，随所入气日加、减 气下先、后数，各其日定数。其求朓朒仿此。冬至后为阳复，在盈加之，在缩减之； 夏至后为阴复，在缩加之，在盈减之。距四正前一气，在阴阳变革之际，不可相并， 皆因前末为初率。以气差至前加之，分前减之，为末率。余依前术，各得所求。其 分不满全数，母又每气不同，当退法除之。以百为母，半已上，收成一。冬至、夏 至偕得天地之中，无有盈、缩。余各以气下先后数先减、后加常气小余，满若不足， 进退其日，得定大小余。凡推日月度及轨漏、交蚀，依定气；注历，依常气。以减 经朔、弦、望，各其所入日算。若大余不足减，加爻数，乃减之。减所入定气日算 一，各以日差乘而半之；前少以加、前多以减气初定率，以乘其所入定气日算及余 秒。凡除者，先以母通全，内子，乃相乘；母相乘除之。所得以损益朓朒积，各其 入朓朒定数。若非朔、望有交者，以十二乘所入日算；三其小余，辰法除而从之； 以乘损益率，如定气辰数而一。所得以损益朓朒积，各为定数。

南斗二十六，牛八，婺女十二，虚十，虚分七百七十九太。危十七，营室十六， 东壁九，奎十六，娄十二，胃十四，昴十一，毕十七，觜觿一，参十，东井三十三， 舆鬼三，柳十五，七星七，张十八，翼十八，轸十七，角十二，亢九，氐十五，房 五，心五，尾十八，箕十一，为赤道度。其毕、觜觿、参、舆鬼四宿度数，与古不 同，依天以仪测定，用为常数。纮带天中，仪极攸凭，以格黄道。

推冬至岁差所在，每距冬至前后各五度为限，初数十二，每限减一，尽九限， 数终于四。当二立之际，一度少强，依平。乃距春分前、秋分后，初限起四，每限 增一，尽九限，终于十二，而黄道交复。计春分后、秋分前，亦五度为限。初数十 二，尽九限，数终于四。当二立之际，一度少强，依平。乃距夏至前后，初限起四， 尽九限，终于十二。皆累裁之，以数乘限度，百二十而一，得度；不满者，十二除， 为分。若以十除，则大分，十二为母，命太、半、少及强、弱。命曰黄、赤道差数。 二至前、后各九限，以差减赤道度，二分前、后各九限，以差加赤道度，各为黄道 度。

开元十二年，南斗二十三半，牛七半，婺女十一少，虚十，六虚之差十九太。 危十七太，营室十七少，东壁九太，奎十七半，娄十二太，胃十四太，昴十一，毕 十六少，觜觿一，参九少，东井三十，舆鬼二太，柳十四少，七星六太，张十八太， 翼十九少，轸十八太，角十三，亢九半，氐十五太，房五，心四太，尾十七，箕十 少，为黄道度，以步日行。日与五星出入，循此。求此宿度，皆有余分，前后辈之 成少、半、太，准为全度。若上考往古，下验将来，当据岁差，每移一度，各依术 算，使得当时度分，然后可以步三辰矣。

以乾实去中积分，不尽者，盈通法为度。命起赤道虚九，宿次去之，经虚去分， 至不满宿算外，得冬至加时日度。以三元之策累加之，得次气加时日度。

以度余减通法，余以冬至日躔距度所入限数乘之，为距前分。置距度下黄、赤 道差，以通法乘之，减去距前分，余满百二十除，为定差。不满者，以象统乘之， 复除，为秒分。乃以定差减赤道宿度，得冬至加时黄道日度。

又置岁差，以限数乘之，满百二十除，为秒分。不尽为小分。以加三元之策， 因累裁之。命以黄道宿次，各得定气加时日度。

置其气定小余，副之。以乘其日盈、缩分，满通法而一，盈加、缩减其副。用 减其日加时度余，得其夜半日度。因累加一策，以其日盈、缩分盈加、缩减度余， 得每日夜半日度。

○四曰步月离术

转终六百七十万一千二百七十九。

转终日二十七，余千六百八十五，秒七十九。

转法七十六。

转秒法八十。

以秒法乘朔积分，盈转终去之；余复以秒法约，为入转分；满通法，为日。命 日算外，得天正经朔加时所入。因加转差日一、余二千九百六十七、秒一，得次朔。 以一象之策，循变相加，得弦、望。盈转终日及余秒者，去之。各以经朔、弦、望 小余减之，得其日夜半所入。

各置朔、弦、望所入转日损益率，并后率而半之，为通率。又二率相减，为率 差。前多者，以入余减通法，余乘率差，盈通法得一，并率差而半之；前少者，半 入余，乘率差，亦以通法除之：为加时转率。乃半之，以损益加时所入，余为转余。 其转余，应益者，减法；应损者，因余。皆以乘率差，盈通法得一，加于通率，转 率乘之，通法约之，以朓减、朒加转率，为定率。乃以定率损益朓肉积，为定数。 其后无同率者，亦因前率。应益者，以通率为初数，半率差而减之；应损者，即为 通率。其损益入余进退日，分为二日，随余初末，如法求之，所得并以损益转率。 此术本出《皇极历》，以究算术之微变。若非朔、望有交者，直以入余乘损益率， 如通法而一，以损益朓朒，为定数。

七日、初数二千七百一，末数三百三十九。十四日、初数二千三百六十三，末 数六百七十七。二十一日、初数二千二十四，末数千一十六。二十八日，初数千六 百八十六，末数千三百五十四。以四象约转终，均得六日二千七百一分。就全数约 为九分日之八。各以减法，余为末数。乃四象驯变相加，各其所当之日初、末数也。 视入转余，如初数已下者，加减损益，因循前率；如初数以上，则反其衰，归于后 率云。

各置朔、弦、望大小余，以入气、入转朓朒定数，朓减、朒加之，为定朔、弦、 望大小余。定朔日名与后朔同者，月大；不同者，小；无中气者，为闰月。凡言夜 半，皆起晨前子正之中。若注历，观弦、望定小余，不盈晨初余数者，退一日。其 望有交、起亏在晨初已前者，亦如之。又月行九道迟疾，则有三大二小以日行盈、 缩累增、损之，则容有四大三小，理数然也。若俯循常仪，当察加时早晚，随其所 近而进退之，使不过三大二小。其正月朔有交、加时正见者，消息前后一两月，以 定大小，令亏在晦、二。定朔、弦、望夜半日度，各随所直日度及余分命之。乃列 定朔、弦、望小余，副之。以乘其日盈、缩分，如通法而一，盈加、缩减其副。以 加夜半日度，各得加时日度。

凡合朔所交，冬在阴历、夏在阳历，月行青道；冬至、夏至后，青道半交在春 分之宿，当黄道东。立冬、立夏后，青道半交在立春之宿，当黄道东南。至所冲之 宿，亦如之。冬在阳历、夏在阴历，月行白道；冬至、夏至后，白道半交在秋分之 宿，当黄道西。立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北。至所冲之宿， 亦如之。春在阳历、秋在阴历，月行硃道；春分、秋分后，硃道半交在夏至之宿， 当黄道南。立春、立秋后，硃道半交在立夏之宿，当黄道西南。至所冲之宿，亦如 之。春在阴历，秋在阳历，月行黑道。春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，当黄 道北，立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北。至所冲之宿，亦如之。 四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月有九行。各视月交所入七十二 候距交初中黄道日度，每五度为限，亦初数十二，每限减一，数终于四、乃一度强， 依平。更从四起，每限增一，终于十二，而至半交，其去黄道六度。又自十二，每 限减一，数终于四，亦一度强，依平。更从四起，每限增一，终于十二，复与日轨 相会。各累计其数，以乘限度，二百四十而一，得度。不满者，二十四除，为分， 若以二十除之，则大分，以十二为母。为月行与黄道差数。距半交前后各九限，以 差数为减；距正交前后各九限，以差数为加。此加减出入六度，单与黄道相较之数。 若较之赤道，则随气迁变不常。计去冬至、夏至以来候数，乘黄道所差，十八而一， 为月行与赤道差数。凡日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳。故月 行宿度，入春分交后行阴历、秋分交后行阳历，皆为同名。若入春分交后行阳历、 秋分交后行阴历，皆为异名。其在同名，以差数为加者加之，减者减之；若在异名， 以差数为加者减之，减者加之。皆以增损黄道度，为九道定度。

各以中气去经朔日算，加其入交泛，乃以减交终，得平交入中气日算。满三元 之策去之，余得入后节日算。因求次交者，以交终加之，满三元之策去之，得后平 交入气日算。

各以气初先后数先加、后减之，得平交入定气日算。倍六爻乘之，三其小余， 辰法除而从之，以乘其气损益率，如定气辰数而一，所得以损益其气朓朒积，为定 数。

又置平交所入定气余，加其日夜半入转余，以乘其日损益率，满通法而一，以 损益其日朓朒积，交率乘之，交数而一，为定数。乃以入气入转朓朒定数，朓减、 朒加平交入气余，满若不足，进退日算，为正交入定气日算。其入定气余，副之， 乘其日盈缩分，满通法而一，以盈加、缩减其副，以加其日夜半日度，得正交加时 黄道日度。以正交加时度余减通法，余以正交之宿距度所入限数乘之，为距前分。 置距度下月道与黄道差，以通法乘之，减去距前分，余满二百四十除，为定差；不 满者一退为秒。以定差及秒加黄道度、余，仍计去冬至、夏至已来候数乘定差，十 八而一，所得依名同异而加减之，满若不足，进退其度，得正交加时月离九道宿度。

各置定朔、弦、望加时日度，从九道循次相加。凡合朔加时，月行潜在日下， 与太阳同度，是谓离象。先置朔、弦、望加时黄道日度，以正交加时所在黄道宿度 减之，余以加其正交九道宿度，命起正交宿度算外，即朔、弦、望加时所当九道宿 度也。其合朔加时，若非正交，则日在黄道，月在九道，各入宿度虽多少不同，考 其去极，若应绳准。故云：月行潜在日下，与太阳同度。以一象之度九十一、余九 百五十四、秒二十二半为上弦，兑象。倍之，而与日冲，得望，坎象。参之，得下 弦，震象。各以加其所当九道宿度，秒盈象统从余，余满通法从度，得其日加时月 度。综五位成数四十，以约度余，为分；不尽者，因为小分。

视经朔夜半入转，若定朔大余有进退者，亦加、减转日。否则因经朔为定。累 加一日，得次日，各以夜半入转余乘列衰，如通法而一，所得以进加、退减其日转 分，为月转定分。满转法，为度。

视定朔、弦、望夜半入转，各半列衰以减转分。退者，定余乘衰，以通法除， 并衰而半之；进者，半余乘衰，亦以通法除：皆加所减。乃以定余乘之，盈通法得 一，以减加时月度，为夜半月度。各以每日转定分累加之，得次日。若以入转定分， 乘其日夜漏，倍百刻除，为晨分。以减转定分，余为昏分。望前以昏、望后以晨加 夜半度，各得晨、昏月。

各视每日夜半入阴阳历交日数，以其下屈伸积，月道与黄道同名者，加之；异 名者，减之。各以加、减每日辰昏黄道月度，为入宿定度及分。

○五曰步轨漏术

爻统千五百二十。

象积四百八十。

辰八刻百六十分。

昏、明二刻二百四十分。

各置其气消息衰，依定气所有日，每以陟降率陟减、降加其分，满百从衰，各 得每日消息定衰。其距二分前后各一气之外，陟、降不等，皆以三日为限。雨水初 日，降七十八；初限，日损十二；次限，日损八；次限，日损三；次限，日损二； 次限，日损后。清明初日，陟一；初限，日益一；次限，日益二；次限，日益三； 次限，日益八；末限，日益十九。处暑初日，降九十九；初限，日损十九；次限， 日损八；次限，日损三；次限，日损二；末限，日损一。寒露初日，陟一；初限， 日益一；次限，日益二；次限，日益三；次限，日益八；末限，日益十二。各置初 日陟降率，依限次损益之，为每日率。乃递以陟减、降加气初消息衰，各得每日定 衰。

南方戴日之下，正中无晷。自戴日之北一度，乃初数千三百七十九。自此起差， 每度增一，终于二十五度，计增二十六分。又每度增二，终于四十度。又每度增六， 终于四十四度，增六十八。又每度增二，终于五十度。又每度增七，终于五十五度。 又每度增十九，终于六十度，增百六十。又每度增三十三，终于六十五度。又每度 增三十六，终于七十度。又每度增三十九，终于七十二度，增二百六十。又度增四 百四十。又度增千六十。又度增千八百六十。又度增二千八百四十。又度增四千。 又度增五千三百四十。各为每度差。因累其差，以递加初数，满百为分，分十为寸， 各为每度晷差。又累其晷差，得戴日之北每度晷数。

各置其气去极度，以极去戴日度五十六及分八十二半减之，得戴日之北度数。 各以其消息定衰所直度之晷差，满百为分，分十为寸，得每日晷差。乃递以息减、 消加其气初晷数，得每日中晷常数。

以其日处在气定小余，爻统减之，余为中后分。不足减，反相减，为中前分。 以其晷差乘之，如通法而一，为变差。以加、减中晷常数，冬至后，中前以差减， 中后以差加；夏至后，中前以差加，中后以差减。冬至一日，有减无加；夏至一日， 有加无减。得每日中晷定数。

又置消息定衰，满象积为刻，不满为分。各递以息减、消加其气初夜半漏，得 每日夜半漏定数。其全刻，以九千一百二十乘之，十九乘刻分从之，如三百而一， 为晨初余数。

各倍夜半漏，为夜刻。以减百刻，余为昼刻。减昼五刻以加夜，即昼为见刻， 夜为没刻。半没刻加半辰，起子初算外，得日出辰刻。以见刻加而命之，得日入。 置夜刻，五而一，得每更差刻。又五除之，得每筹差刻。以昏刻加日入辰刻，得甲 夜初刻。又以更筹差加之，得五夜更筹所当辰。其夜半定漏，亦名晨初夜刻。

又置消息定衰，满百为度，不满为分。各递以息减、消加气初去极度，各得每 日去极定数。

又置消息定衰，以万二千三百八十六乘之，如万六千二百七十七而一，为度差。 差满百为度。各递以息加、消减其气初距中度，得每日距中度定数。倍之，以减周 天，为距子度。

置其日赤道日度，加距中度，得昏中星。倍距子度，以加昏中星，得晓中星。 命昏中星为甲夜中星，加每更差度，得五夜中星。

凡九服所在，每气初日中晷常数不齐。使每气去极度数相减，各为其气消息定 数。因测其地二至日晷，测一至可矣，不必兼要冬夏。于其戴日之北每度晷数中， 较取长短同者，以为其地戴日北度数及分。每气各以消息定数加减之，因冬至后者， 每气以减。因夏至后者，每气以加。得每气戴日北度数。各因所直度分之晷数，为 其地每定气初日中晷常数。其测晷有在表南者，亦据其晷尺寸长短与戴日北每度晷 数同者，因取其所直之度，去戴日北度数。反之，为去戴日南度。然后以消息定数 加减之。

二至各于其地下水漏以定当处昼夜刻数。乃相减，为冬、夏至差刻。半之，以 加、减二至昼夜刻数，为定春、秋分初日昼夜刻数。乃置每气消息定数。以当处差 刻数乘之，如二至去极差度四十七分，八十而一，所得依分前、后加、减初日昼夜 漏刻，各得余定气初日昼夜漏刻。

置每日消息定衰，亦以差刻乘之，差度而一，所得以息减、消加其气初漏刻， 得次日。其求距中度及昏明中星日出入，皆依阳城法求之。仍以差刻乘之，差度而 一，为今有之数。若置其地春、秋定日中晷常数与阳城每日晷数，较其同者，因其 日夜半漏亦为其地定春、秋分初日夜半漏。求余定气初日，亦以消息定数依分前、 后加、减刻分，春分后以减，秋分后以加。满象积为刻。求次日，亦以消息定衰， 依阳城术求之。此术究理，大体合通。然高山平川，视日不等。较其日晷，长短乃 同。考其水漏，多少殊别。以兹参课，前术为审。