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十六 清代学者整理旧学之总成绩(四)
——历算学及其他科学 乐曲学
十 历算学及其他科学
历算学在清学界占极重要位置，不容予不说明。然吾属稿至此乃极惶悚极忸怩，盖吾于此学绝无所知，万不敢强作解事，而本书体例，又不许我自藏其拙。吾惟竭吾才以求尽吾介绍之责。吾深知其必无当也，吾望世之通此学者不以我为不可教，切切实实指斥其漏阙谬误之点，俾他日得以校改自赎云尔。
历算学在中国发达盖甚早。六朝唐以来，学校以之课士，科举以之取士；学者于其理与法，殆童而习焉。宋元两朝名家辈出，斯学称盛。明代，心宗与文士交哄，凡百实学，悉见鄙夷，及其末叶，始生反动。入清，则学尚专门，万流骈进，历算一科，旧学新知，迭相摩荡，其所树立乃斐然矣。计自明末迄清末，斯学演进，略分五期。
第一期 明万历中叶迄清顺治初叶约三十年间，耶稣会士赍欧洲新法东来，中国少数学者以极恳挚极虚心的态度欢迎之，极忠实以从事翻译。同时旧派反抗颇烈，新派以不屈不挠之精神战胜之。其代表人物则为李凉庵之藻、徐元扈光启等。
第二期 清顺治中叶迄乾隆初叶约八十年间，将所输入之新法尽量消化，彻底理会；更进一步，融会贯通之，以求本国斯学之独立。其代表人物为王寅旭锡阐、梅定九文鼎等。
第三期 乾隆中叶以后迄嘉庆末约三四十年间，因求学问独立之结果，许多重要古算书皆复活，好古有识之学者，为之悉心整理校注。其代表人物则戴东原震、钱竹汀大昕、焦里堂循等。
第四期 嘉庆、道光、咸丰三朝约四五十年间，因古算书整理就绪之结果，引起许多创造发明，完成学问独立之业。其代表人物则汪孝婴莱、李四香锐、董方立祐诚、罗茗香士琳等。
第五期 同治初迄光绪中叶约三十年间，近代新法再输入，忠实翻译之业不让晚明。其代表人物为李壬叔善兰、华若汀蘅芳等。
第六期 光绪末迄今日，以过去历史推之，应为第二次消化会通发展独立之期。然而……？！
今吾将略述前五期之史迹。惟有一语先须声明者，历与算本相倚也，而三百年来斯学之兴，则假涂于历而归宿于算。故吾所论述，在前两期历算并重，后三期则详算而略历焉。
晚明因天官失职，多年沿用之大统历，屡发见测算上之舛误，至万历末而朱载堉、邢云路先后抗言改历之必要。我国向以观象授时为国之大政，故朱、邢之论忽惹起朝野注意，历议大喧哄，而间接博得西欧科学之输入。
初，欧洲自“宗教革命”告成之后，罗马旧教团中一部分人为挽回颓势起见，发生自觉，于是有耶稣会之创设。会士皆当时科学知识最丰富之人，而其手段在发展势力于欧洲以外。于是利玛窦、庞迪我、熊三拔……等先后来华，实为明万历天启时。中国人从之游且崇信其学者颇多，而李凉庵、徐元扈为称首。及改历议起，有周子愚者方为“五官正”钦天监属官，上书请召庞、熊等译西籍。万历四十年前后，凉庵与邢云路同以修历被征至京师。云路以己意损益古法，而凉庵专宗西术，新旧之争自此。崇祯二年，凉庵与元扈同拜督修新法之命。越二年，凉庵卒。又二年，元扈亦以病辞，荐李长德天经自代。天经一遵成规，矻矻事翻译，十年如一日，有名之《崇祯历书》百二十六卷，半由元扈手订，半由长德续成也。凉庵、元扈深知历学当以算学为基础，当未总历事以前，已先译算书。元扈首译欧几里得之《几何原本》六卷，欧人名著之入中国，此其第一。《几何原本》之成书，在元扈任历事前二十三年自序谓“由显入微，从疑得信，盖不用为用，众用所基，真可谓万象之形囿，百家之学海。”盖承认欧人学问之有价值，实自兹始也。元扈又自为《句股义》一卷。凉庵亦以半著半译的体裁，为《同文算指》十卷，《圜容较义》一卷。以上诸书，皆为当时言西算者所宗。
元扈总历事时，反对蜂起，最著者为魏文魁、冷守忠。元扈与李长德先后痛驳之，其焰始衰。《崇祯新历》经十余年制器实测之结果，泐为定本，将次颁行，而遭甲申之变，遂阁置。入清，以欧人汤若望掌钦天监，始因晚明已成之业而颁之。顺康之交，尚有杨光先者，纯狭排外的意气诋諆新法，著一书名曰《不得已书》，其后卒取汤若望之位而代之，旋以推步失实黜革，自是哄议始息矣。
元扈于崇祯四年上疏曰：“欲求起胜，必须会通；会通之前，先须繙译。……繙译既有端绪，然后令深知法意者，参详考定……”《明史》本传当时研究此学之步骤如此。元扈既逝，旋遭丧乱，未能依原定计划进行。王寅旭引此疏而论之曰：……文定元扈谥之意，“原欲因西法(以)求进也。文定既逝，继其事者案指李天经等仅能终翻译之绪，未遑及会通之法，(甚)至矜其师说，齮龁异己。……今西法盛行，向之异议者，亦诎而不复争矣。然以西法有验于今，可也。如谓(为)不易之法，无事求进，不可也。……”《历说一》盖李、徐之业，得半而止，未逮其志。所谓“会通以求超胜”，盖有俟于后起，而毅然以此自任者，则王寅旭、梅定九其人也。
阮芸台著《畴人传》，清儒之部，以王、梅为冠首，且论之曰：“王氏精而核，梅氏博而大，各造其极，难可轩轾”。谅哉言矣！寅旭自幼嗜测天，晴霁之夜，辄登屋卧鸱吻间，仰察星象，竟夕不寐；每遇日月蚀，辄以新旧诸法所推时日秒刻所蚀多寡实测之，数十年未尝一次放过。结果乃自为《晓庵新法》六卷，其自序既力斥魏文魁、陈壤、冷守忠辈之专己守残，推奖利、徐新法，然又谓西法有不知法意者五，当辨者十。其书则“会通若干事，考正若干事，表明若干事，增葺若干事”。其论治学方法谓：“……当顺天以求合，不当为合以验天。法所以差，固必有致差之故；法所吻合，犹恐有偶合之嫌。”《历策》又云：“其合其违，虽可预信，而分秒远近之细”，必屡经实测而后得知，“合则审其偶合与确合，违则求其理违与数违，不敢苟焉以自欺而已”。《推步交朔序》又云：“……学之愈久而愈知其不及，入之弥深而弥知其难穷。……若仅能握觚而即以创法自命，师心任目，撰为卤莽之术以测天，约略一合，傲然自足，胸无古人，其庸妄不学未尝艰苦可知矣。”《测日小记序》读此可知寅旭之学，其趋重客观的考察为何如，又可知此派历算学，其影响于清代学风者为何如也。
定九年辈，稍后寅旭，而其学最渊博，其传亦最光大。所著《勿庵历算全书》，分四大部：法原部八种，法数部一种，历学部十五种，算学部六种，都凡三十种七十五卷。此外关于研究古历法之书尚十三种八十七卷。其书内容价值，非吾所敢妄评。顾吾以为定九对于斯学之贡献，最少亦有如下数点：
一历学脱离占验迷信而超然独立于真正科学基础之上，自利、徐始启其绪，至定九乃确定。
二历学之历史的研究——对于诸法为纯客观的比较批评，自定九始。
三知历学非单纯的技术而必须以数学为基础，将明末学者学历之兴味移到学算方面，自定九始。
四因治西算而印证以古籍，知吾国亦有固有之算学，因极力提倡以求学问之独立，黄梨洲首倡此论，定九与彼不谋而合。
五其所著述，除发表自己创见外，更取前人艰深之学理，演为平易浅近之小册，以力求斯学之普及。此事为大学者之所难能，而定九优为之。
王、梅流风所被，学者云起，江苏则有潘次耕耒、陈泗源厚耀、惠天牧士奇、孙滋九兰、顾震沧栋高、庄元仲亨阳、顾君源长发、屠莼洲文漪、丁维烈等；安徽则有方位伯中通、浦选正珠父子、江慎修永、余晋斋熙，及定九之弟和仲文鼐，尔素文鼏，定九之孙玉汝瑴成等。浙江则有徐圃臣发、吴任臣志伊，龚武仕士燕、陈言扬讦、王宋贤元启等；江西则有揭子宣暄、毛心易乾乾等；湖北则有刘允恭湘煃等；河南则有孔林宗兴泰、杜端甫知耕等；山东则有薛仪甫凤祚等；福建则有李晋卿光地、耜卿光坡兄弟等。其学风大率宗王梅。而清圣祖亦笃嗜此学，其御定《历象考成》、御制《数理精蕴》，裒然巨帙，为斯学增重，则陈泗源、李晋卿等参与最多云。
黄梨洲年辈略先于王、梅，然既以历学闻，有著述数种。梨洲亦信服利、徐新法之一人，然谓此法乃我国所固有。尝曰“周公、商高之术，中原失传而被篡于西人，试按其言以求之，汶阳之田可归也”。其言虽不脱自大之习，然唤起国人之自觉心亦不少。王、梅所企之“会通以求超胜”，其动机半亦由此。而清圣祖以西人借根方授梅玉汝，告以西人名此书为《阿尔热八达》，译言《东来法》，命玉汝推其所自，玉汝因考订为出于“天元一”。自是学者益知我国固有之算学，未可轻视矣。虽然大算学书散佚殆尽，其存者亦传刻讹漏不可卒读，无以为研究之资。其搜辑整理之，则在四库馆开馆之后，而董其役者实为戴东原。
东原受学于江慎修，而尤服膺其历算。慎修笃信西法，往往并其短而护之，东原亦时所不免。看钱竹汀与东原论岁实书自其中年，即已成《原象》《历问》《历古考》《策算》《勾股割圜记》等书，为斯学极有价值之作品。及入四库馆，则子部天文算学类之提要，殆全出其手，而用力最勤者，则在辑校下列各种算书：
一 《周髀算经》。汉赵爽注，北周甄鸾重述，唐李淳风释。此书旧有《津逮秘书》刻本，然讹脱甚多，东原据《永乐大典》详校，补脱字百四十七，正误字百十三，删衍字十八，补图二，自是此书始可读
二 《九章算术》。晋刘徽注，唐李淳风释，宋李籍音义。此书明时已佚，东原从《永乐大典》辑成九卷。此书后经李云门(潢)作《细草图说》九卷，东原所谓舛错不可通者，一一疏解之
三 《孙子算经》。不著撰人名氏。旧有甄鸾、李淳风注，皆亡。东原从《大典》中辑出正文
四 《海岛算经》。晋刘徽撰，唐李淳风注，久佚。从《大典》辑出
五 《五曹算经》。不著撰人名氏，刻本久佚，汲古阁有影钞宋本，讹舛不能成读。旧有甄鸾、韩延、李淳风诸家注，已不见，惟经文散在《大典》各条下。东原补缀钩稽，辑为五卷，极费苦心
六 《五经算术》。北周甄鸾撰，唐李淳风注。此书久无传本，惟散见《大典》中，割裂失次。东原循其义例，以各经之叙推之，辑成完书
七 《夏侯阳算经》。著者时代无考，旧有甄鸾、韩延注。传本久佚，惟《大典》有之，然割裂分附《九章算术》之下，紊其端绪。幸原书目尚符。东原悉心寻绎排比，还有旧观，为三卷十二门。
八 《张邱建算经》。著者年代无考。甄、李注及刘孝孙细草。此书旧有汲古阁影抄宋椠，然讹舛不少。东原校正之，及为补五图，盖原书所无，而其理非图不明也
九 《辑古算经》。唐王孝通撰并自注。旧尚有李淳风注，已佚。此书亦毛氏藏本，东原校订，附加图说。此书后经李云门作考注，以九章释之；张古余作细草，以天元释之；皆多发明
十 《数术记遗》。旧题汉徐岳撰，周甄鸾注。东原亦校订之，但辨为唐以后伪书
以上所列，不过校勘几部旧书，宜若与学界大势无甚关系。虽然，此诸书者久已埋没尘壒中，学者几不复知吾国自有此学。即有志研究者，亦几译书外无所凭借。自戴校诸书既成，官局以聚珍版印行，而曲阜孔氏复汇刻为《算经十书》，其移易国人观听者甚大。善夫阮文达之言曰：“九数为六艺之一，古之小学也。……后世言数者，或杂以太一、三式、占候、卦气之说，由是儒林实学，下与方技同科，是可慨也！(戴)庶常……网罗算氏，缀辑遗经，以绍前哲，用遗来学。盖自有戴氏，天下学者，乃不敢轻言算数，而其道始尊。然则戴氏之功，又岂在宣城(梅氏)下哉！”《畴人传》四十二读阮氏此论，可以知戴氏在斯学之位置矣。
东原虽遍校古算经，然其自著历算书，则仍宗西法。其专以提倡中法闻者，则推钱竹汀。竹汀著《元史朔闰表》《三统木衍》《算经答问》等书，罗茗香推之甚至，谓宣城犹逊彼一筹。《续畴人传》四十九其言或稍过。虽然，自戴、钱二君以经学大师笃嗜历算，乾嘉以降，历算遂成经生副业，而专门算家，亦随之而出，其影响岂不巨哉！
前所列戴校《算经十书》皆唐代用以课士者。然数学实至宋元而极盛，其最有价值之著述则为下列三家四种：
一宋秦道古九韶《数学九章》十八卷。
二元李仁卿治《测圆海镜》附细草十二卷、《益古演段》三卷。
三元朱汉卿世杰《四元玉鉴》三卷。
秦李两家所创为两派之“立天元一术”。朱氏所创为“四元术”。天元、四元两术，则嘉道以后学者所殚精竭虑，阶是以求超胜于西人者也。四书中惟《测圆海镜》旧有传本，而已逸其细草，余三书则皆久佚。东原在四库馆，从《永乐大典》中辑录《九章》《演段》，及《海镜》之细草，三书始稍具面目，然精心雠校，实所未遑，故研习犹不易焉。东原校《海镜》，多臆删误解。尹菊圃(锡瓒)曾指斥之《数学九章》，自钱竹汀极力提倡，秦敦夫恩复刻之，而顾千里广圻为之详校，其后沈侠侯钦裴及其弟子宋冕之景昌复据顾本精校，订正讹舛数十处，为之《札记》。自是道古之书始可读。《海镜》及《演段》，鲍渌饮廷博刻之，而李四香锐为之详校，自是仁卿之书始可读。独《四元玉鉴》《四库》既不著录，阮文达作《畴人传》时且未之见。以传中无朱世杰知之文达晚乃得其抄本，传抄寄四香。四香大喜，为作细草，未就而没。文达恫之，曰：“李君细草不成，遂无能读是书者矣。”《揅经室集》李锐传道光中，罗茗香始为精校，并补作细草，自是汉卿之书亦人人可读，与秦李书等。此四书校注之业，其影响于后此算学之发展，视戴校诸书为尤巨。大抵天元学即秦李学大显于嘉庆中叶，而四元学即朱学复活于道光之初。二学明而中国算学独立之利器具矣。
乾嘉以后治算之人约可分三类：
第一类，台官。台官者，奉职于钦天监者也。历代台官，率多下驷，然台中资料多，仪器备，苟得其人，则发明亦较易为力。乾隆中则有监正明静庵安图，蒙古人。创“割圆密率捷法”，举世宗之。详下其弟子夏官正官名张良亭肱最能传其学。同时，监副博绘亭启，满洲人，能解名股形中所容方边、圆径、垂线三事，创法六十。道光初，监正方慎葊履亨亦绩学有著述。同时博士钦天监博士陈静葊杰最精比例，著《算法大成》二十卷，最便初学。
第二类，经师。经师者，初非欲以算学名家，因治经或治史有待于学算，因以算为其副业者也。此派起于黄梨洲、惠天牧，而盛于钱竹汀、戴东原，其稍后则焦里堂、阮芸台。若顾震沧、程易畴、凌次仲、孔巽轩、钱溉亭、许周生、姚秋农、程春海、李申耆、俞理初……辈皆其人也。自余考证家，殆无一人不有算学上常识，殆一时风尚然矣。此辈经生——除戴、焦、孔外——大率藉算以解经史，于算学本身无甚发明。虽然，后此斯学大家，多出诸经师之门，如李尚之之学于竹汀，罗茗香之学于芸台，其最著者也。
第三类，专门算学家。专门算学家，自王、梅以后，中绝者垂百年，至嘉庆间始复活，道咸间乃极盛。复活初期之主要人物，则江都焦里堂、元和李四香、歙汪孝婴莱也，时号为“谈天三友”。三人始终共学，有所得则相告语，有所疑则相诘难，而其公共得力之处，则在读秦、李书而知“立天元一”为算家至精之术。四香校释《测圆海镜》《益古演段》，为仁卿之学拨开云雾；又与里堂几度讨论，知秦道古之《九章》为“大衍求一”中之又一派“天元”，秦书价值亦大明。里堂著《天元一释》《开方通释》等书，最能以浅显之文阐天元奥旨。孝婴则姿性英锐，最喜攻坚，必古人所未言者乃言之。三人中，焦尚经师副业，而汪、李则专家也。焦之评汪、李曰：“尚之四香善言古人所已言，而阐发得其真；孝婴善言古人所未言，而引申得其间。”两家学风可见矣。学风异而能合作，故于斯学贡献特多焉。而阳城张古余敦仁，上元谈阶平泰皆四香学友，于“天元”有所发明，四香弟子顺德黎见山应南尽传其师之学，且续成其书；里堂子虎玉廷琥亦治《演段》，能名家，嘉庆间专门家最著者，略如此。
道光初叶，秀水朱云陆鸿、阳湖董方立祐诚在京师以算学相友善。方立最绝特，所发明“割圜连比例率”，实斯界不刊之作见下，惜早夭未能尽其才。而甘泉罗茗香士琳、乌程徐君青有壬，仁和项梅侣名达皆老寿，道咸间称祭酒焉。茗香为阮芸台弟子，早岁已通天元，中岁得《四元玉鉴》，嗜之如性命，竭十二年之力，为之校，为之注，为之演细草二十四卷，复与同县学友易蓉湖之瀚为之释例。四元复见天日，自茗香始也。后此李壬叔译代数之书，始知“四元”即我国之代数，而其秘实启自茗香。君青缒幽凿险，学风酷似汪孝婴、董方立，发明“测圜密率”、“椭圜求周术”、“对数表简法”等见下；亦尝为《四元》步细草，闻茗香治此乃中辍。梅侣与黎见山游，因接李四香之绪，著述甚富，今传者仅《句股六术》一编。尝曰：“守中西成法，搬衍较量，畴人子弟优为之。所贵学数者，谓能推见本原，融会以通其变，竟古人未竟之绪，而发古人未发之藏耳”。晚年每谓古法无所用，不甚涉猎，而专意于平弧三角云。后此算家力求向上一步以从事发明，得梅侣暗示之力为多。三君之外，则元和沈侠侯钦裴之校《九章》，乌程陈静葊杰之为《缉古细草》，皆能有所树立者。
道光末迄咸、同之交，则钱塘戴鄂士煦、钱塘夏紫笙鸾翔、南海邹特夫伯奇、海宁李壬叔善兰，为斯学重镇。鄂士学早成，年辈稍后于罗茗香、项梅侣。罗项折节以为忘年交。所著《求表捷术》，英人艾约瑟译之，刊英伦算学公会杂志，彼都学者叹为绝业。我国近人著述之有欧译，自戴书始也。紫笙为梅侣高弟，尽传其学。特夫崛起岭峤，而精锐无前，又善制器，诸名家皆敛手相推焉。壬叔早慧而老寿，自其弱冠时，已穷天元、四元之秘，斐然述作；中年以后，尽瘁译事，世共推为第二徐文定，遂以结有清一代算学之局。当是时，江浙间斯学极盛，金山顾尚之观光、长洲马远林钊、嘉定时清甫曰淳、兴化刘融斋熙载、乌程凌厚堂堃、张南坪福僖、南汇张啸山文虎，与徐、项、戴、李诸君先后作桴鼓应焉。江西亦有南丰吴子登嘉善，造诣不让时贤。而异军特起有声色者，莫如湖南、广东两省。湖南自新化邹叔勣汉勋首倡此学，长沙丁果臣取忠继之。果臣弟子有湘阴左壬叟潜，文襄从子也；湘乡曾栗諴纪鸿，文正子也，咸以贵介嗜学，能名其家。徐君青之为广东盐运使也，语人曰：“广东无知算者！”或以告番禺黎南溟汉鹏，南溟为难题难之，徐不能答。嘉应吴石华学算于南溟，遂尽传其学。已而出邹特夫，所造或为江左诸师所不及云。
清季承学之士，喜言西学为中国所固有，其言多牵强附会，徒长笼统嚣张之习，识者病焉。然近世矫其弊者，又曾不许人稍言会通，必欲挤祖国于未开之蛮民，谓其一无学问，然后为快。嘻！抑亦甚矣。人智不甚相远，苟积学焉，理无不可相及，顽固老辈之蔑视外国，与轻薄少年之蔑视本国，其误谬正相等。质而言之，蔽在不学而已。他勿具论，即如算术中之天元、四元，苟稍涉斯学之樊者，宁能强词斥之谓为无学问上之价值？又宁能谓此学非我所自有？清圣祖述西士之言，谓借根为东来法。英人伟烈亚力，与李壬叔同事译业者也，深通中国语言文字，能读古书，其所著《数学启蒙》第二卷有开诸乘方捷法一条，缀以按语云：“无论若干乘方，且无论带纵不带纵，俱以一法通之，故曰捷法。此法在中土为古法，在西土为新法，上下数千年，东西数万里，所造之法若合符节。信乎！此心此理同也。”夫伟力是否谰言，但用天元一试布算焉，立可决矣。竺旧之儒，必谓西法剽窃自我，如梨洲所谓“汶阳之田可复归”，诚为夸而无当。然心同理同之说，虽好自贬者亦岂能否认耶？是故如魏文魁、杨光先之流，未尝学问，徒争意气，吾辈固当引为大戒。乃若四香、茗香、壬叔诸贤，真所谓“旧学商量加邃密，新如涵养转深沈”，盖于旧学所入愈深，乃益以促其自觉之心，增其自壮之气，而完其独立发明之业，则温故不足以妨知新，抑甚明矣！而最损人神智者，实则在“随人脚跟，学人言语”，不务力学，专逐时谈之习耳。世之君子，宜何择焉？
清代算学，顺康间仅消化西法，乾隆初仅杂释经典。其确能独立有所发明者，实自乾隆中叶后，而嘉、道、咸、同为盛。推厥所由，则皆天元、四元两术之复活有以牖之。徐文定所谓“会通以求超胜”，盖实现于百余年后矣。今刺举其发明之可纪者如下。
一 明静庵安图之割圜密率捷法。梅玉汝《亦水遗珍》，载有西士杜德美用连比例演周径密率及求正弦、正矢之法，惟所以立法之原则秘而不宣。至汪考婴疑其数为偶合。静庵积思三十年，创为此法与解，用连比例术以半径为一率，设弧共分为二率：二率自乘，一率除之，得三率；以二率与三率相乘，一率除之，得四率。由是推之，三率自乘，一率除之，得五率。——虽至亿万率，胥如是。罗茗香评之曰：“西法之妙，莫捷于对数”；“对数之用，莫便于八线。——考对数之由来，亦起于连比例，又安知当日立八线表时，不暗用此法推算耶？”
二 孔巽轩之三乘方以上开方捷法及割圜四例。巽轩为戴东原高弟子，研究秦李之书，精通天元。梅定九著《少广拾遗》，云三乘方以上不能为图。巽轩独抒新意，取幂积变为方根，使诸乘皆可作平方观，制诸乘方廉隅图，俾学者知方广稠叠所由生。又立割圜四例，其说在明氏捷法未显之先，而间与暗合，所著书名《少广正负术内外篇》六卷
三 李四香之《方程新术草》。因梅氏未见古九章，其所著《方程论》，囿有西学，致悖直除之旨，乃寻究古义，采索本根，变通简捷，以成新术，辨天元与借根之异同。梅玉汝言借根即天元，大致固不谬。四香更辨析天元之相消，有减无加，与借根方之两边加减微异发明开方正负定律。梅氏言开方，专宗《同文算指》《西镜录》之西法，初不知立方以上无不带纵之方。故所著《少广拾遗》，立开一乘方以至开十二乘方法，枝枝节节，窒碍难通。四香读秦道古书，阐明超步退商、正负加减、借一为阳诸法，为《开方说》三卷
四 黎见山应南之求句股率捷法。见山，四香弟子。此捷法乃推阐天元通分而成。任设奇偶两数，各自乘，相并为弦，相减为句，或为股；副以两数相乘倍之为股，或为句。若任设大小两奇数或偶数，各自乘，则相并半之为句，或为股，其两数相乘即为股，或为句，所得句股弦皆无零数
五 汪孝婴之发明天元一正负开方之可知不可知。四香发明正负开方定律，少广之学大明。孝婴读秦李书，知有不可知之数，乃自二乘方以下推之得九十五条。其说与四香似立异，故当时有汪李齮龁之谣，焦里堂既辨之矣。四香后读其书而为之跋，括为三例以证明之，谓偶实同名者不可知，偶实异名而从廉正负不杂者可知；偶实异名而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。又谓己所言“一答与不止一答”，与汪言之“可知不可知”，义实相通云
六 董方立之发明割圜连比例术。此亦因杜德美之圜径求周术语焉不详，欲更创通法，使弦矢与弧可以径求。时明静庵之密率捷法未传于世。方立覃思独创，与明氏同归而殊涂，盖以圜容十八觚之术，引申类长，求其累积，实兼差分之列衰，商功之堆垛，而会通以尽句股之变。自谓奇偶相生，出于自然，得此术而方圆之率通云
七 徐君青之发明屡乘屡除的对数。对数表传自西人，云以屡次开方而得其数。君青以屡除屡乘法御之，得数。巧合而省力百倍研究测圜密率，以屡乘屡除法，递求正负诸差，而加减相并，便得所求发明开圜求周术。椭圆求周，无法可驭。借平圜周求之，则有三术。项梅侣、戴鄂士各立一术。君青以椭周为圜周，求其经以求周，即为椭圜之周。最直捷。李壬叔谓其驾过西人远甚发明造各表简法。君青以对数表等为用最大。惜创造之初，取经纡徊，布算繁赜，不示人以简易之方，如八线对数表，至今无人知其立表之根，因读《四元玉鉴》，究心于垛积招差之法，推诸割圆诸术，无所不通。盖垛积者递加数也，招差者连比例也。合二术以施之割圜，六通四辟，而简易之法生焉。乃集杜德美、董方立、项梅侣、戴鄂士、李壬叔诸家之说而折衷之，简益求简，凡立五术
八 戴鄂士之发明对数简法。其术在舍开方而求假设数；复有续编，专明对数根之理。徐君青为之序，谓与李壬叔《对数探原》同为不朽之业发明外切密率。此亦割圜率中之一种。自杜、董递启割圜之秘，项梅侣、李壬叔皆有所增益。惜杜氏有弦矢术而无切割术，李氏有其术而分母分子之源未经解释。鄂士谓弦矢与切割本可互为比例，……以比例所得之率数乘除法，乘除弧背，其求得之数，必仍为比例所得之切割。乃本此意以立术发明假数测圆。专以负算阐对数，发前人未发之蕴
九 邹特夫之发明乘方捷术。此亦研究对数之书，隐括董方立、戴鄂士之说，立开方四术。其于讷白尔表，以连比例乘除法，迳开一无量数乘方以求之，又立求对数较四术以求之，亦用连比例一以贯之，立术最为简易。盖以徐君青、李壬叔之术，操数各殊，惟夏紫笙略近而更为精密云创造对数尺。因对数表而变通之为算器，画数以两尺相并而伸缩之，使原有两数相对，而今有数即对所求数补古格术。格术之名及其术之概略，仅见于宋沈括《梦溪笔谈》，后人读之亦莫能解。特夫知其即光学之理，更为布算以明之。以算学释物理自特夫始
十 李壬叔之以尖锥驭对数。壬叔以尖锥立术，既著《方圆阐幽》《弧矢启秘>二书，复为《对数探源》，亦以尖锥截积起算，先明其理，次详其法。自序云：“……有正数万，求其逐一相对之对数，则虽欧罗巴造表之人仅能得其数，未能知其理也。间尝深思得之，叹其精微玄妙，且用以造表，较西人简易万倍，然后知言数者不可不先得夫理也。”壬叔著书在早年，其后与西士共译各书，益自信，乃著《对数尖锥变法释》，谓己所用为正法，西人所用乃变法，而其根则同云推衍垛积术。谓垛积为少广一支，西人代数微分中所有级数，大半皆是。近人惟汪孝婴、董方立颇知其理，而法数未备，因特阐明之
十一 顾尚之之和较相求对数八术。批评杜、董、项、戴及西人《数学启蒙》中之诸新术，以为皆未尽其理，乃别为变通，任意设数，立六术以御之，得数皆合，复立还原四术，卒乃推衍之为和较相求之八术
十二 夏紫笙之创曲线新术。其书名《致曲术》，曰平圆，曰椭圆，曰抛物线，曰双曲线，曰摆线，曰对数曲线，曰螺线，凡七类。皆于杜德美、项梅侣、戴鄂士、徐君青、罗密士(英人，著《代数微积拾级》者)诸术外自定新术，参互并列，法密理精，复有《致曲图解》说明之创乘方捷术以开各类乘方，通为摆术，可并求平方根数十位，不论益积翻积，俱为坦途，其书名《少广缒凿》
上所举，不过在三部《畴人传》中阮元著初编，罗士琳续，诸可宝再续临时挦撦。我之学力，本不配讨论此学，其中漏略错误，定以当不少。但即循此以观大略，已可见此学在清代发展进步之程度为何如。以李四香、汪、明、董等推算之业视王、梅；以李四香、罗、张古余等校书补草之功视钱、戴；以徐、戴鄂士、邹、李壬叔等会通发明之绩视王、梅、李四香、汪，真有“积薪后来居上”之感。其后承以第二期西学之输入——即所谓19世纪新科学者，而当时国中学者所造，与彼相校，亦未遑多让。中国人对于科学之嗜好性及理解能力，亦何遽出欧人下耶？
吾叙述至此，惟忽有别的小感触，请附带一言。清代算学家多不寿，实吾学界一大不幸也。内中梅定九寿八十九，李壬叔寿七十，二老岿然绾一代终始，差足慰情。自余若焦里堂仅五十八，戴鄂士仅五十六，王寅旭、戴东原皆仅五十五；邹特夫仅五十一，邹叔勣仅四十九，马远林仅四十八，汪孝婴仅四十六，李四香、夏紫笙皆仅四十五。尤促者，熊韬之仅三十九，孔巽轩仅三十五，董方立仅三十三，左壬叟、曾栗諴卒年未详，大抵皆不逾四十。呜呼！岂兹事耗精太甚，易损天年耶？何见夺之速且多也。夫使巽轩、方立辈有定九寿，则所以嘉惠学界者宜何如哉？吾又感觉算学颇恃天才，故有早岁便能成家者又洪杨之乱，学者多殉，而算家尤众。徐君青以封疆江苏巡抚死绥，固宜矣。乃若罗茗香、马远林、邹叔勣、戴鄂士、顾尚之、凌厚堂堃、张南坪富禧，皆先后及难。其余诸家遗著投灰烬者且不少。呜呼！丧乱之为文化厄，有如是也。
道光末叶英人艾约瑟、伟烈亚力先后东来。约瑟与张南坪、张啸山文虎、顾尚之最善，约为算友。伟烈则纳交于李壬叔，相与续利、徐之绪，首译《几何原本》后九卷，次译美之罗密士之《代微积拾级》，次译英人侯失勒约翰之《谈天》。其后壬叔又因南坪等识艾约瑟，与之共译英人胡威立之《重学》，又与韦廉臣共译某氏之《植物学》，19世纪欧洲科学之输入，自壬叔始也。乱事既定，曾文正设制造局于上海，中附属译书之科，以官力提倡之。时壬叔已老，在总理衙门为章京，不能亲译事，则华若汀蘅芳继之，与英人傅兰雅共译为多，所译有英人华里司之《代数术》《微积溯原》，海麻士之《三角数理》等。此外则徐虎臣建寅、赵仲涵元益等皆有所译述，然精审不逮李、华云。晚清李、华译述之业，其忠实与辛勤不让晚明之徐、李，而所发生之影响则似远逊。李、徐译业，直接产生王、梅，能全部消化其所译受，更进而求本国学问之独立，因以引起三百年间斯学之发达。李、华译书时，老辈专精斯学者已成家数，译本不过供其参考品，不复能大有所进益，而后辈则浮鹜者多，不复专精斯诣。故求如王、梅其人者，直至今日，盖无闻焉。岂惟今日，恐更迟之若干年，亦犹是也。夫吾并非望举国人皆为算学家也。算学为最古之学，新发明甚难，不如他种科学之饶有发展余地，学者不甚嗜之，亦无足怪。虽然，算学为一切自然科学之基础，欲治科学，非于算有相当素养不能为功，昭昭然也。然环观今之青年，在学校中对于此科之兴味何衰落一至此甚也！学之数年，恐其所得素养比诸门外汉如我者所剩无几也，反不如百余年前专读“线装书”之老经生犹知以此学为重也。呜呼！此非一门学术兴废之小问题，实全部学风盛衰之大问题也。厌繁重而怠探索，功课为机械的授受，不复刻入以求心得，惟喜摭拾时趋的游谈以自欺欺世。如此，则凡百学术皆不能唤起真挚之兴味，岂惟算学？结果非将学问向上之路全付榛芜焉不止也。呜呼！今之青年，有闻乾、嘉、道间诸先辈之学风而知奋者耶？
邹特夫晚年有论算家新法一篇，其言曰：“自董方立以后，诸家极思生巧，出于前人之外，如华严楼阁，弹指即现，实抉算理之奥窔。然恐后之学者，不复循途守辙，而遽趋捷法，则得之易失之亦易，是可忧也。”吾涉读及此，而若有感于余心焉。昔人欲通晓一学也甚难，而所成就常实。无组织完善之著书，无简易之教授法，欲学者须从乱石荦荦、乱草蓬蓬中自觅新路而自辟之。故学焉者十人，其九人者恒一无所获，废然而返。即其一人有所获者，亦已费无量精力于无用之地，此其所为失也。虽然，不入之则已，既入则极深研究，其发明往往超拔凡近，此其所为得也。今人欲通晓一学也甚易，而所成就常虚。教科书及教授法，凡所以助长理解者惟恐不至，而取径惟恐不捷。中智之士，按部就班，毕业一课即了解一课，毕业一书即人解一书，人人可操券而获也。然与其书，与其师睽别不一二年，所学如梦矣。即不尔，而所得亦至肤浅末，罕复能以自立。说者谓今之教育，只能攀全社会“平庸化”，而杰出天才乃汨没摧抑而日澌灭，不其然耶？夫今日不能举教育法而尽返之于曩昔，不待言也。然特夫所谓“遽趋捷法，得之易而失之亦易”者，斯诚教育界不可忽视之问题。如何而能便青年于易知易从中，仍阅历甘苦而求所学实有诸己，不可不熟思而折衷之也。吾有感于诸先辈之刻苦坚忍以完成学问独立之业，故附其说于此。
吾今当以叙述历算学之余，简带叙其他科学。各种科学，不惟不能各占一专章，并不能合而成一专章，而惟以历算学附庸之资格于此带叙焉，吾学界之耻也。然吾侪史家之职，不能增饰历史实状之所本无。吾惟写其实，以待国人之自勘而已。
清儒颇能用科学精神以治学，此无论何人所不能否认也。虽然，其精力什九费于考证古典，勉誉之亦只能谓所研究者为人文科学中之一小部分，其去全体之人文科学已甚远。若自然科学之部，则欲勉举一人一书，且觉困难。无已，始举下列一二以充数。
物理学及工艺学方面，有宋长庚应星《天工开物》十八卷。长庚，江西奉新人，卒于清初顺康间，其书则成于明崇祯十二年。书之内容如下：
卷一乃粒 论农产品、农事、农器等。
卷二乃服 论蚕事、制丝、纺织及织具、缎锦、棉花之种植纺织、麻布、制裘、制毡等。
卷三彰施 论染料之产出采用及制造等。
卷四粹精 论农产品制成粮食之法。
卷五作咸 论各种盐产及制盐法。
卷六甘嗜 论种蔗、制糖及蜜蜂。
卷七陶埏 论造瓦、造砖、造陶器、造瓷器诸法。
卷八冶铸 论铸造钟、鼎、釜、像、炮、镜、钱诸法。
卷九舟车 论各式舟车及其造法。
卷十锤锻 论冶铁及各种铁器造法，附冶铜。
卷十一燔石 燔石类之化炼内含石灰、蛎灰、煤炭、矾、硫磺、砒石等。
卷十二膏液 论油品及制法。
卷十三杀青 论纸料及制法。
卷十四五金 论金、银、铜、铁、锡、铅各矿之产地，采法、化分法等。
卷十五佳兵 论矢、弩、干、火药、火器各种制造法。
卷十六丹青 论朱、墨等颜色之产地及造法。
卷十七麴蘖 论造酒。
卷十八珠玉 论珠、玉、宝石、水晶、玛瑙等之产地及磨治法。
观此目录，可以知本书所研究之对象为何。长庚自序云：“世有聪明博物者，稠人推焉，乃枣梨之花未赏，而臆度楚萍；釜鬻之范鲜经，而侈谈莒鼎，画工好图鬼魅而恶犬马，即郑侨晋华，岂足为烈哉？”彼盖深鄙乎空谈考古之辈，而凡所言皆以目验为归也。丁在君文江论之曰：“三百年前言工业天产之书如此其详且明者，世界之中无与比伦。”有此书洵足为学界增重矣。
方密之著《通雅》，其中已多言物理，复有余稿，其子位伯中通分类编之，名曰《物理小识》，凡十二卷，内分天、历、风、雷、雨、旸、地、占候、人身、医药、饮食、衣服、金石、器用、草木、鸟兽、鬼神方术、异事，凡十五类。所言虽不免间杂臆测或迷信，不如长庚之摭实，然其中亦颇多妙悟，与今世科学言暗合。例如卷一之论“气映差”，论“转光”，论“隔声”——等类皆是。要之，此等书在三百年前，不得谓非一奇著也。
明清之交，学者对于自然界之考索，本已有动机。雍乾以降，古典学大兴，魁儒之聪明才力尽为所夺，甚可惜也。然皖南江、戴一派，好言名物，与自然科学差相接近，程易畴瑶田著《通艺录》，有《考工创物小记》《沟洫疆理小记》《九谷考》《释草小记》《释虫小记》等，惜偏于考古，于实用稍远矣；郝兰皋懿行自言好穷物理，著有《蜂衙小记》《燕子春秋》等，吾未见其书，不知内容如何。
明末历算学输入，各种器艺亦副之以来，如《火器图说》《奇器图说》《仪象志》《远镜说》……等，或著或译之书亦不下十余种，后此治历算者，率有感于“欲善其事先利其器”，故测候之仪，首所注意，亦因端而时及他器。梅定九所创制，则有“勿庵揆日器”、“勿庵测望仪”、“勿庵仰观仪”、“勿庵浑盖新仪”、“勿庵月道仪”等；戴东原亦因西人龙尾车法作赢族车，因西人引重法作自转车，又亲制璇玑玉衡——观天器。李申耆自制测天绘图之器，亦有数种。凡此皆历算学副产品也。而最为杰出者，则莫如歙县郑浣香复光之《镜镜詅痴》一书。
浣香之书，盖以所自创获之光学知识，而说明制望远显微诸镜之法也。据张石洲序，知其书成于道光十五年以前。其自序云“时逾十稔然后成稿”，则知属稿在道光初年矣。时距鸦片战役前且二十年，欧洲学士未有至中国者，译书更无论。浣香所见西籍，仅有明末清初译本之《远镜说》《仪象志》《人身概说》等三数种，然其书所言纯属科学精微之理，其体裁组织亦纯为科学的。今将原书四大部分各子目表列如下：
第一部 明原。原注云：镜以镜物，不明物理，不可以得镜理物之理，镜之原也。作《明原》一原色，二原光，三原影，四原线，五原目，六原镜。
第二部 类镜。原注云：镜之制，各有其材；镜之能，各呈其用；以类别也。不详厥类，不能究其归。作《类镜》一镜资；二镜质；三镜色；四镜形。
第三部 释圆。原云：镜多变者，惟凹与凸。察其形，则凹在圆外，凸在圆内。天之大，以圆成化；镜之理，以圆而神。姑作《释圆》一圆理，二圆凸，三圆凹，四圆叠，五圆率。
第四部 述作。原注云：知者创物，巧者述之，儒者事也。民可使由，不可使知。匠者事也，有师承焉，姑备所闻。儒者之事，有神会焉，特详其义。作《述作》一作照景镜，二作眼镜，三作显微镜，四作取火镜，五作地镫镜，六作诸葛镫镜，七作取影镜，八作放字镜，九作柱镜，十作万花筒镜，十一作透光镜，十二作视日镜，十三作测日食镜，十四作测量高远仪镜，十五作远镜。
全书体例，每篇皆列举公例若干条，理难明者则为之解，有异说者则系以论，表象或布算则演以图。全书为图一百二十八大抵采用西人旧说旧法者什之二三，自创者什之七八。书中凡采旧说必注明。其原光公例十八条，采旧说者三。原目公例十二条，采旧说者四。余类推吾不解科学，不能言其与现代西人之述作比较何如。顾吾所不惮昌明者；百年以前之光学书，如此书者，非独中国所仅见，恐在全世界中亦占一位置。浣香所以能为此者，良由其于算学造诣极深见张序，而又好为深沈之思见自序。张石洲言浣香“雅善制器，而测天之仪，脉水之车，尤切民用”，则其艺事之多能又可知矣。以前宋后郑之学，而不见推于士林《畴人传》巾无郑名。嘻！“艺成而下”之观念毒人深矣。
邹特夫亦以明算通光学。所著《格术补》，因沈存中括《梦溪笔谈》中一条，知宋代算家有此术，因穷思眇虑，布精算以阐其理。郑浣香亦因读《梦溪笔谈》而有悟，但邹决非袭郑可谓好学深思，心知其意。特夫又自制摄影器，观其图说，以较现代日出日精之新器，诚朴僿可笑，然在五十年前无所承而独创，又岂可不谓豪杰之士耶！粤人复有梁南溟汉鹏者在特夫前，陈兰甫称其“好言物性，金木百工之事莫不穷究，尤善制火药，以所制者发鸟枪，铅丸较英吉利火药所及加远”云。
医学方面，中国所传旧学，本为非科学的。清医最负盛名者如徐洄溪大椿、叶天士桂，著述皆甚多，不具举。惟有一人不可不特笔重记者，曰王勋臣清任，盖道光间直隶玉田人，所著书曰《医林改错》，其自序曰：“……尝阅古人脏腑论及所绘之图，立言处处自相矛盾。……本源一错，万虑皆失……著书不明脏腑，岂非痴人说梦？治病不明脏腑，何异盲子夜行？……”勋臣有惕于此，务欲实验以正其失。然当时无解剖学，无从着手。彼当三十岁时，游滦州某镇，值小儿瘟疹，死者甚多，率皆浅殡。彼乃不避污秽，就露脏之尸细视之，经三十余具，略得大概，其遇有赴刑之犯，辄往追视。前后访验四十二年，乃据所实睹者绘图成脏腑全图而为之记。附以“脑髓说”，谓灵机记性不在心而在脑；“气血合脉说”，斥《三焦脉诀》等之无稽，诚中国医界极大胆之革命论。其人之求学，亦饶有科学的精神，惜乎举世言医者莫之宗也。
吾叙带科学，而供吾论列之资料仅此。吾阁笔且愧且悲焉。虽然，细思之，未足为愧，未足为悲。西方科学之勃兴，亦不过近百年间事耳，吾乾嘉诸老未能有人焉于此间分一席，抑何足深病？惟自今以往仍保持此现状，斯乃真可愧真可悲耳。呜呼！此非前辈之责而后者之责也。后起者若能率由前辈治古典学所用之科学精神，而移其方向于人文自然各界，又安见所收获之不如欧美？虽然，非贵乎知之，实贵乎行之。若如今日之揭科学旗帜以吓人者，加减乘除之未娴，普通生理心理之未学，惟开口骂“线装书”，闭口笑“玄学鬼”，狺狺于通衢以自鸣得意。顾亭林有言：“昔之清谈谈老庄，今之清谈谈孔孟。”吾得易其语曰：“今之清谈谈科学。”夫科学而至于为清谈之具，则中国乃真自绝于科学矣！此余之所以悁悁而悲也。
十一 乐曲学
昔之言学者，多以律历并举。律盖言乐之律吕也。其所以并举之故，虽支离不足取，吾为叙述便利起见，姑于述历算后次论焉。可纪者少，等于附庸而已。
但吾仍有须郑重声明者：吾之无乐曲学常识，一如其于历算。吾绝无批评诸家得失之能力，且所叙述亦恐不能得其要领。希海内明治斯学者有以教之。
中国音乐，发达甚早。言“六艺”者两说，《周官》大司徒之“礼、乐、射、御、书、数”；《汉书·艺文志》之“诗、书、礼、乐、易、春秋”乐皆与居一焉。儒家尤以之为教育主要工具，以是招墨氏之非议。惜无乐谱专书，其传易坠。汉魏以降，古乐亡，以至于尽。累代递兴之新乐，亦复阅时辄佚，而俗乐大抵出伶工之惰力的杂奏，漫以投里耳之好，故乐每况而愈下。乐之研究，渐惹起一部分学者之注意。固宜然矣。
清儒所治乐学，分两方面：一曰古乐之研究，二曰近代曲剧之研究。其关于古代者复分两方面：一曰雅乐之研究，二曰燕乐之研究。关于近代者亦分两方面：一曰曲调之研究；二曰剧本之研究。
清儒好古，尤好谈经。诸经与乐事有连者极多，故研究古乐成为经生副业，固其所也。清初自诩知乐者首为毛西河，著有《竞山乐录》——一名《古乐复兴录》《圣谕乐本解说》《皇言定声录》等书；而李恕谷从之游，著有《学乐录》以申其说。此四书者可称为毛氏一家之学。西河自称得明宁王权家所藏唐乐笛色谱，因据之以推得古代之七调九声，谓“自春秋迄明，千年长夜，一旦尽举而振豁之”，其自负可谓至极。然所谓宁王之笛色谱，始终未尝出以示人，其有无且不知，其是否唐乐更不可知。西河人格不足以见信于世，故全谢山攻其伪妄，盖有以自取矣。然其对于荒诞支离的旧说扫荡廓清之功，固不可泯灭。彼力斥前人之以五行附会乐理。略云：“乐之有五声，亦言其声有五种耳，其名曰宫曰商，亦就其声之不同，而强名之作表识耳。自说音推原元本，忘求繇历，……至有分配五行、五时、五土、五色，……而究与声律绝不相关。此何为也？……故凡为乐书，多画一元、两仪、五行、十二辰、六十四卦、三百六十五度之图，斐然成文，而又畅为之说，以引证诸黄钟太簇阴阳生死上下顺逆增减，以及时气卦位历数之学凿凿配合者，则其书必可废。……”彼力斥前人之摹揣古乐器以图复古。略云：“尝牵合古尺，考复旧琯，呼工师截竹裁设管器，及裁竟而乐殊不然，然后知迁、固以后，京房、郑玄、张华、荀勖，……及近代之韩尚书、郑恭王辈，凡言钟铸、均弦、造器、算数，皆欺人之学，不足道也。”此皆一扫尘霾，独辟畦径。其所自立论之价值如何，吾不能妄评，凌次仲谓西河全属武断。陈兰甫谓西河论乐最谬，七声十二律茫然不知但其革命的精神则甚可师也。清初尚有胡彦升著《乐律表微》，凌次仲谓其只知唱昆山调及推崇朱子
初期汉学家之乐学的著作，最有名者为江慎修之《律吕新论》二卷，《律吕阐微》十一卷。慎修长于算，故以算理解乐律，多能匡正宋明人之失。然乐律应否以算理解释，实为先决问题。慎修虽用力甚勤，然其截断众流之识，恐反出西河下也。书中附会河图、五行、纳音、气节诸陋习亦不免惟《新论》卷末论声音流变，论俗乐可求雅乐，论乐器不必泥古诸条，似有卓见。《阐微》言唐宋燕乐之当研究，实为凌次仲示其途径。戴东原亦有论乐律之篇，大致不出慎修见解
清儒最能明乐学条贯者，前有凌次仲，后有陈兰甫，而介其间者有徐新田养原。次仲之书曰《燕乐考原》六卷。燕乐者，唐代音乐最主要之部分也。唐天宝十三载，分乐为三部：先王之乐为雅乐，前世新声为清乐，合胡部者为燕乐。沈括《梦溪笔谈》语而燕乐最贵，奏技者皆坐堂上。白香山《立部伎》诗自注云：“太常选坐部伎，无性识者退入立部伎；又选立部伎，绝无性识者退入雅乐部。”立部伎即掌清乐者也，雅乐又在其下清乐者，梁陈旧乐也；燕乐者，周隋旧乐也。本书卷六语唐承周隋之统，以其旧乐为主，而以西域诸国乐损益之，故其燕乐集乐之大成。次仲以为，“世儒有志古乐而不考之于燕乐，无异扣盘扪籥”自序语，故专为此书研究之。卷一为总论，考燕乐之来历，说明其选声制谱之概略，卷二至卷五分论燕乐二十八调宫、商、角、羽各七调，各自为卷，卷六为后论，凡十三章《燕乐二十八调说》上中下，《字谱即五声二变说》上下，《述琴》《述笛》《宫调之辨不在起调》《毕曲说》《徵调说》《燕乐以夹钟为律本说》《明人九宫十三调说》《南北曲说》《声不可配律说》，附加《燕乐表》终焉。其书之要点大略如下。吾之学力实不配作提要，所摘有误略，望读者指正
一燕乐之原，出于龟兹苏祗婆之琵琶。琵琶四弦，为宫、商、角、羽四声无徵声，每声七调，故有二十八调。
二燕乐之调，本以字谱即上、工、尺等为主，与《汉书·律历志》所言律吕之长短分寸，渺不相涉。郑译、沈括辈将二者牵合为一，乃欺人之谈。
三今之字谱，即古之宫商——上字为宫，尺字为商，工字为角，合字为徵，四字为羽，一字为变宫，凡字为变徵。此明朱载堉说，次仲略修改之古乐用五声二变而成音，犹今乐用七字谱而成调，即此可以沿而上溯，不必旁求。
四《乐志》等向称唐人八十四调，其实只是二十八调，因琵琶四弦每弦七调故也。然宋乾兴以来所用仅十一凋，今则仅用七调而已。
五今之南曲，即唐清乐之遗；今之北曲，即唐燕乐之遗。疑燕乐完全失传者，误也。其自序谓：“廷堪于斯事初亦未解，若涉大水者有年，然后稽之于典籍，证之以器数，一旦始有所悟入。”其与阮伯元书云：“推步学自西人之后，有实测可凭，譬之鸟道羊肠，绳行悬度，苟不惮辛苦，无不可至者。若乐律诸书，虽言之成理，乃深求其故，皆如海上三神山，但望见焉，风引之则又远矣。何者？一实有其境，一虚构其理也。吾书成，庶东海扬尘，徒步可到矣。”总之，昔之言乐者，皆支离于乐外，次仲则剖析于乐中。其剖析所得成绩如何，虽非吾侪门外汉所能妄谈，若其研究方法，确为后人开一新路，则吾敢断言也。次仲之乡先辈程易畴有《声律小记》一卷，《琴音记续篇》一卷，似无甚发明。惟其“论中声”一条，陈兰甫极称之
次仲复有《晋泰始笛律匡谬》一卷。其自序云：“乐学之不明，由算数之说汨之也。黄钟之数，《史记》《汉书》皆云十七万一千一百四十七。不知此数于何而施用。将以为黄钟之长耶？恐九寸之管，非针芒刀刃不足以容之，将以为黄钟之实耶？恐径九分之中，非野马尘埃不足以受之。……然则律度乘除之损益，果足以深信耶？画鬼易，画人难，言乐者每恃此为藏身之固。……陈之以虚数则烂然，验之以实事则茫然者，比比皆是矣。……晋泰始末荀勖制笛律，乃以丝声之律度为竹声之律度，悉毁前人旧作，而乐学益晦。……今为《匡谬》一卷。嗟乎！所匡者宁独荀公哉！”荀律果谬与否，所匡果不谬与否，别一问题。然次仲对于旧乐学摧陷廓清之勇猛见可矣。
年辈稍后于次仲者有徐新田养原，著有《荀勖笛律图注》《管色考》《律吕臆说》等书。新田似未见次仲书，故无一字之征引辨难。其《笛律图注》尊宗荀勖，与次仲正反。其《管色考》，专论字谱，矫正元明人之误，与次仲全同而加详。其《律吕臆说》，亦一扫五行卦气等等纠缠之说，专剖析于乐中。与次仲孰优劣，非吾所能言也。其言五声变为七音，为乐学一进步，七音乃律而非声，其变为乃全体改易，非于本音之外漫加二音旧说谓变宫、变徵乃就旧有五声加上；言雅乐非于俗乐之别外有一声节，言雅乐之亡由于图谱失传，不关律吕；言三代之乐不亡于秦，而亡于魏晋；言当因俗乐管色以推求古乐，皆自有见地者。
陈兰甫所著曰《声律通考》十卷。兰甫著书动机，盖因读次仲书而起，而驳正其说亦最多。盖他书无驳之价值，而于凌书所未安，则不容不驳也。卷九之末自注云：“此书于《燕乐考原》之说驳难最多，非掎摭前人也。余于凌次仲，实资其先路之导。其精要之说，固已采录之至，其持论偏宕，则不可不辩。其纷纭舛错，读之而不可解者，尤不能不为订正。九原可作，当以为诤友焉。”今略摘凌、陈异点如下。
一凌氏掊击荀勖笛律，陈氏极推重之。陈似未见凌之《笛律匡谬》，亦未见徐氏之《笛律图注》。然凌氏《匡谬》之说，已有一部分散见《燕乐考原》中，陈所反驳甚当也。徐著极精密，使陈见之或更有助说明荀氏十二笛三调之制及其作用。
二凌氏不信有八十四调，谓郑译创此说以欺人。陈氏考证八十四调为梁隋所有，不始郑译据《隋书·万宝常传》及《旧五代史·音乐志》等书，并说明其可能。
三凌氏以工尺等字谱分隶宫商等，陈氏承认之。但陈谓此惟今乐为然耳，宋人则以工尺配律吕，非以代宫商。
四凌氏以苏祗婆琵琶为标准乐器，陈氏谓有研究古乐器之必要。其言曰：“声随器异，由今之器，岂能寄古之声？试取今日之二弦、梆子以唱昆腔，闻者必为掩耳，而况以今器寄古声乎？”
兰甫《东塾集》中有《复曹葛民书》一篇，最能说明其述作之旨。今节录如下。间引本书说或他人说，注其难解者
……澧为此书，所以复古也，复古者迂儒常谈，澧岂效之？良以乐不可不复古也。……鼓吹也，戏剧也，小曲也，其号为雅音者琴师之琴也，此则今所谓乐也。何为宫商而不知也？何为律吕而更不知也？启超案：徐新田《雅乐论》云：“今之琴有声无节，先不成其为乐矣，何论雅俗！”呜呼！乐者六艺之一，而可以轻亵沦亡若此哉！……近数十年，惟凌次仲奋然欲通此学，自谓以今乐通古乐。澧求其书读之，信多善者。然以为今之字谱即宋之字谱，宋之字谱出于隋郑译所演龟兹琵琶。如其言，则由今乐而上溯之，通于西域之乐耳，何由而通中国之古乐也？又况今之字谱非宋之字谱，宋之字谱又非出于郑译，古籍具存，明不可借假乎？澧因凌氏书，考之经疏史志子书，凡言声律者，排比名稽，以成此编。……将使学者由今之字谱而识七声之名，又由七声有相隔有相连而识十二律之位；识十二律，而古之十二宫八十四调可识也。启超案：兰甫弟子殷康保校《声律通考》竣，而撮其要点为跋云：“五音宫、商、角、徵、羽，即今所谓上、尺、工、六、五也。加变宫、变徵为七音，即今所谓一、凡也。七音得七律，宫与商之间有一律；角与变徵之间有一律；徵与羽之间有一律；羽与变宫之间有一律；是为十二律也。十二律者，高下一定者也；七音者，施转无定者也。十二律各为宫，则各有商、角、徵、羽，是为十二宫；十二宫各为一均；每一均转七调，则八十四调也。……”此段最能将全书提纲挈领，故录以为注又由十二律四清声而识宋人十六字谱，识十六字谱而唐宋二十八调可识也。然此犹纸上空言也，无其器何以定其声？无其度何以制其器？属有天幸，《宋书》《晋书》皆有“荀勖笛”，而阮文达公摹刻钟鼎款式有“荀勖尺”，二者不期而并存于世。夫然后考之史籍，隋以前历代律尺皆以“荀勖尺”为比。金、元、明承用宋乐，宋乐修改王朴乐；而王朴律尺又以荀勖尺为比。有荀勖尺，而自汉至明乐声高下皆可识也。然而荀勖尺易制也。荀勖笛难知也。《宋书》《晋书》所载荀勖笛制，文义深晦，自来读者不能解。澧穷日夜之力，苦思冥悟而后解之，而后仿制之，于是世间乃有古乐器。又读朱子《仪礼经传通解》，有唐开元《鹿鸣》《关雎》十二诗谱，以今之字谱释之，于是世间乃有古乐章。……遍考古书所载乐器，从未有细及分厘如荀勖笛制者；遍考古书所载乐章，从未有兼注意音律如十二诗谱者。古莫古于此，详亦莫详于此。授之工人，截竹可造，付之伶人，按谱可歌，而古乐复出于今之世矣。……象州郑小谷见此书，叹曰：“有用之书也。”又曰：“君著此书辛苦，我读此书亦辛苦也。”嗟呼！辛苦著书，吾所乐也。有辛苦读之者，吾愿足矣。若其有用，则吾不及见矣。其在数十年后乎？其在数百年后乎？
吾认此书之著作为我学术界一大事，故不避繁重，详录此函。读之，则书之内容大概，可识矣。吾以为今所当问者只有两点：一、兰甫所解荀勖笛制是否无误？二、朱子所传开元十二诗谱是否可信？兰甫又言：“即谓十二诗谱不出开元，而为宋人所依托，然自宋至今，亦不可谓不古。较之毛大可所称明代之唐谱，不可同年而语矣。”若诚无误也，可信也，则所谓古乐复出于今世者，真可拭目而待也。由兰甫之书以复活汉晋以来不绝如缕之古乐；由次仲之书以复活唐代融会中西之燕乐，此点兰甫绝对承认次仲书之价值，兰甫书亦有可以补其未备者则二千年音流变，可以知其概以求隅反，乐天下快事宁有过此？夫今日音乐必当改造，识者类能言之矣，然改造从何处下手耶？最热心斯道者，亦不过取某国某名家之谱，随己之所嗜，拉杂输入一二云尔。改造音乐必须输进欧乐以为师资，吾侪固绝对承认。虽然，尤当统筹全局，先自立一基础，然后对于外来品为有计划的选择容纳。而所谓基础者，不能不求诸在我，非挟有排外之成见也。音乐为国民性之表现，而国民性各各不同，非可强此就彼。今试取某国音乐全部移植于我国，且勿论其宜不宜，而先当问其受不受。不受，则虽有良计划，费大苦心，终于失败而已，譬之撷邻圃之秾葩，缀我园之老干，纵极绚烂，越宿而萎矣。何也？无内发的生命，虽美非吾有也。今国中注意此问题者，盖极寥寥。然以吾所知一二先觉，其所见与所忧未尝不与吾同，盖亦尝旁皇求索，欲根据本国国民性为音乐树一新生命，因而发育之，容纳欧乐以自荣卫。然而现行俗乐堕落一至此甚，无可为凭藉；欲觅历史上遗影，而不识何途之从，哀哉耗矣！次仲、兰甫之书，以门外汉如我者，于其价值如何诚不敢置一辞，然吾颇信其能示吾侪以前途一线光明。若能得一国立音乐学校，资力稍充，设备稍完，聚若干有音乐学素养之人，分出一部分精力，循此两书所示之途径以努力试验，或从此遂可以知我国数千年之音乐为何物，而于其间发见出国民音乐生命未孵之卵焉，未可知也。呜呼！吾之愿望何日偿也？兰甫先生盖言“其在数十年后乎？其在数百年后乎？”
次仲《燕乐考原》之中四卷，详列琵琶四弦每弦所衍生之各七调，胪举其调名，上自郊祀乐章，下至院本杂剧，网罗无遗，因此引起后人研究剧曲之兴味焉。
初，康熙末叶，王奕清撰《曲谱》十四卷，吕士雄撰《南词定律》十三卷。清儒研究曲本之书，盖莫先于此。乾隆七年，庄亲王奉敕编《律吕正义后编》，既卒业，更命周祥钰、徐兴华等分纂《九宫大成南北词谱》八十一卷，十一年刊行之，曲学于是大备。江郑堂《汉学师承记》，称凌次仲是年应某达官之招，在扬州校勘词曲谱，得修脯自给；次仲精于南北曲，能分别宫调，自此。疑次仲曾参与《九宫谱》事也，待续考后此叶怀庭堂《纳书楹曲谱》，称极精审，度曲者宗之。有戴长庚著《律话》，吾未见其书，且未审为何时人。兰甫《声律通考》屡引其说，盖亦旁及曲律云。
以经生研究戏曲者，首推焦里堂，著有《剧说》六卷，虽属未经组织之笔记，然所收资料极丰富，可助治此学者之趣味，吾乡梁章冉廷柟著《曲话》五卷，不论音律，专论曲文，文学上有价值之书也。而陈兰甫亦有《唐宋歌词新谱》，则取唐宋词曲原谱已佚而调名与今本所用相符、字句亦合者，注以曲谱之意，拍而歌之。其自序有言：“物之相变，必有所因，虽不尽同，必不尽异。……诗失既求诸词，词失亦求诸曲，其事一也。……”读此可见此老雅人深致，惜其书已不传。
最近则王静安国维治曲学，最有条贯，著有《戏曲考原》《曲录》《宋元戏曲史》等书。曲学将来能成为专门之学，静安当为不祧祖矣。而杨时百宗稷专言琴学，著《琴粹》《琴话》《琴谱》《琴学随笔》《琴余漫录》《琴镜》等书，凡二十四卷。琴学是否如徐新田所诋“不成其为乐”，吾不敢言。若琴学有相当价值，时百之书，亦当不朽矣。
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——历算学及其他科学 乐曲学
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